miércoles, 6 de abril de 2011

RiicoOn PaatriioO..!

Luisa Cáceres de Arismendi

Luisa Cáceres de Arismendi


Datos personales
Nacimiento	25 de septiembre de 1799 Caracas, Venezuela
Fallecimiento	28 de junio de 1866 (66 años) Caracas, Venezuela

Luisa Cáceres de Arismendi (Caracas, 25 de septiembre de 1799 - Caracas, 28 de junio de 1866). María Luisa Cáceres Díaz (conocida por la historia como Luisa Cáceres de Arismendi) es uno de los personajes femeninos más insignes y heroína de la gesta de independencia de Venezuela. Esposa del General Juan Bautista Arismendi.

Luisa Cáceres De Arismendi nace en Caracas – Venezuela el día 25 de septiembre de1799, hija primogénita del matrimonio formado por el distinguido pedagogo José Domingo Cáceres y su esposa Doña Carmen Díaz fue bautizada en la Iglesia Santa Rosalía. Su padre, profesor de latín, se ocupó de enseñarle a leer y escribir, así como los principios y normas morales puestos a prueba durante los años de cautiverio y destierro de la joven patriota. Tuvo dos hermanos que la seguían se llamaban Félix y Manuel Cáceres.
Biografía

Es educada para ejercer el sagrado ministerio de esposa y de madre. Por el atraso en que se encontraba la instrucción pública Colombiana de 1813 en esa época, su espíritu no fue cultivado, aprendiendo solamente a leer y a escribir y todas aquellas normas de sociabilidad que trasmitían los padres a los hijos desde lejanos tiempos. Pero a pesar de su escasa instrucción Luisa pudo elevarse a su destino y perfeccionarse moralmente durante su infancia.

Desde muy temprana edad Luisa Cáceres se distinguía por su hermosura. De estatura mediana y bellas facciones, llamaba la atención por su porte y gentileza. En el año de 1814, antes de cumplir los quince años de edad fue solicitada en matrimonio ante sus padres por un joven patriota, el entonces Coronel Juan Bautista Arismendi, viudo hacía pocos años de Doña María del Rosario Iralda.

Tragedia familiar

Gral. Juan Bautista Arismendi. Esposo de Luisa Cáceres de Arismendi. Oleo de Martin Tovar y Tovar 1874

El año de 1814 fue un año adverso para la naciente República y también para la familia Cáceres; el 6 de marzo las tropas del realista Francisco Rosete asaltaron la guarnición de Ocumare y matan al padre de Luisa quien se encontraba allí por invitación de su amigo el comandante Juan José Toro. La Comandancia Militar, en Caracas, a cuyo frente se encontraba el coronel Juan Bautista Arismendi, organiza una expedición de jóvenes estudiantes y acude el día 14 en auxilio de los patriotas sitiados en Ocumare; entre los soldados de la expedición estaba Félix Cáceres, hermano de Luisa. Las tropas de Arismendi son derrotadas y Félix es hecho prisionero y ejecutado el 16 de marzo.

Por otra parte las sucesivas derrotas y la ofensiva de José Tomás Boves y de su “Legión infernal” obligan a las fuerzas patriotas a abandonar la plaza de Caracas; el 7 de julio de 1814 se emprende la retirada a oriente comandada por Simón Bolívar y José Félix Ribas (hecho conocido en la historia venezolana como Emigración a Oriente); entre los emigrados marcha la familia Cáceres, durante la travesía mueren 4 tías de Luisa y sólo quedan ella, su madre y un hermano menor. Los emigrados pasan por Barcelona y se dirigen a Cumaná a donde llegan a fines de agosto, pero la calma será por poco tiempo ya que Boves toma la ciudad.

Muchos de ellos consiguen pasar a Margarita donde Arismendi puede ofrecerles alguna seguridad. El coronel Arismendi busca a la familia Cáceres, a quienes había conocido y frecuentado por algún tiempo en Caracas en la Navidad de 1813, les proporciona vestido, alojamiento y demás recursos necesarios. El día 4 de diciembre de 1814 Luisa Cáceres contrae matrimonio con el coronel Juan Bautista Arismendi.

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Presidio en La Isla de Margarita

El Castillo Santa Rosa.

Para el año de 1815 Arismendi es Gobernador provisional, momento en que a la isla de Margarita arribó El General Realista Pablo Morillo al frente de una escuadra como jamás nunca se había visto en las costas de Venezuela. El acoso español se inició por todo el territorio de la república, durante algunos meses viven en las afueras de La Asunción bajo el espionaje y la presión que las autoridades españolas mantienen sobre los simpatizantes de la causa patriota en la isla. En septiembre de 1815 se ordena apresar a Arismendi, éste escapa y se oculta con uno de sus hijos en las montañas de Copey; el día 24 de septiembre Luisa, quien se encontraba embarazada, es tomada como rehén para doblegar a su esposo y encerrada bajo la vigilancia en la casa de la familia Amnés, días después es trasladada a un calabozo del Castillo Santa Rosa en la Asunción. Es en ese calabozo oscuro y sin luz de la fortaleza que comienza el suplicio de Luisa por el maltrato y vejámenes cometidos por las tropas españolas ante los cuales nuestra heroína nunca cederá. Un centinela vigila hasta sus menores movimientos, y es obligada a comer el rancho que le dan como único alimento. Luisa permanece sentada noche y día sin moverse para no llamar la atención del celador. Un día el capellán de la fortaleza de regreso de sus oficios pasa por su puerta y se queda contemplando aquella mujer en actitud de vencida, de humillada. Movido a compasión por su estado logra que le lleven comida de su propia casa, que le supriman el centinela y que le coloquen una luz que ilumine el calabozo durante la noche.

Castillo San Carlos de Borromeo

Las acciones militares de Arismendi le permiten hacer prisioneros a varios jefes españoles entre ellos al comandante Cobián, de la fortaleza de Santa Rosa por lo cual el jefe realista Joaquín Urreiztieta propone a Arismendi canjear esos prisioneros por su esposa, tal ofrecimiento no es aceptado y el emisario recibe por respuesta: «Diga al jefe español que sin patria no quiero esposa». A partir de aquel momento empeoran las condiciones del cautiverio y se desvanece la posibilidad de libertad al fracasar los patriotas en un intento de asalto de la fortaleza. Habiendo trascurrido un mes desde su prisión oye una noche una gran alarma y se da cuenta de que se prepara un asalto al cuartel. La lisonjea la esperanza de un triunfo de los suyos pero al amanecer, cuando todo está en calma, sólo oye los lamentos de los moribundos y de los heridos de la refriega. Horas más tarde los soldados la sacan de su prisión para pasearla sobre la explanada del cuartel, donde han sido fusilados los infelices prisioneros. Luisa tiembla ante la idea de que ella también va a ser sacrificada, pero estaba equivocada: el objeto de sus verdugos era que se paseara por sobre los cadáveres de los patriotas fusilados, que caminara por sobre aquellos cuerpos sin vida que habían tenido la osadía de querer libertarla. La sangre derramada va a desembocar en el aljibe de la prisión y a Luisa la obligan a calmar su sed con aquella agua putrefacta y pestilente mezclada con la sangre de los suyos. El 26 de enero de 1816, Luisa da a luz una niña que muere al nacer dadas las condiciones del parto y del calabozo en el cual se encontraba prisionera.

Traslado a la prisión de la Guaira

Los brigadieres Juan Bautista Pardo y Salvador Moxó ordenan que se traslade a la detenida al fortín de Pampatar donde permanece algunos días, luego es trasladada a la prisión de La Guaíra y posteriormente al convento de la Inmaculada Concepción en Caracas, donde ingresa como prisionera el 22 de marzo de 1816. Durante todo este tiempo se le mantiene incomunicada y sin noticias de sus familiares. Los triunfos de las fuerzas republicanas comandadas por Arismendi en Margarita y por el general José Antonio Páez en Apure determinaron que el brigadier Moxó ordenara el traslado de Luisa a Cádiz, por tal razón es llevada de nuevo a la prisión de La Guaira el 24 de noviembre de 1816 y embarcada el 3 de diciembre. En alta mar son atacados por un buque corsario que se apodera de todo el cargamento y los pasajeros son abandonados en la isla de Santa María en las Azores.

Estadía en Cádiz

Imposibilitada de regresar a Venezuela, Luisa llega a Cádiz el 17 de enero de 1817. Es presentada ante el capitán general de Andalucía, quien protesta por la arbitraria decisión de las autoridades españolas en América y le da la categoría de confinada, le asigna una pensión de 10 reales en vellón diarios y confía su protección al médico José María Morón y su esposa Concepción Pepet, luego que pagan una fianza y se comprometen a presentarla mensualmente ante el juez de alzada. Durante su permanencia en Cádiz, se negó a firmar un documento donde manifestaba su lealtad al Rey de España y renegaba de la filiación patriota de su marido a lo cual respondió que el deber de su esposo era servir a la patria y luchar por libertarla. El destierro transcurre sin noticias de su madre y su esposo. En marzo de 1818 el teniente Francisco Carabaño y el inglés Mr. Tottem se ofrecen para ayudarla a trasladarse a América; se hacen todos los preparativos pertinentes para la fuga y la joven promete que su esposo pagará todos los gastos al arribar a tierra margariteña. Se despide de la familia Morón y emprende viaje a bordo de una fragata de bandera norteamericana.

Llegada a Filadelfia

El 3 de mayo de 1818 llega a Filadelfia donde conoce a la familia del general patriota Lino Clemente, emigrados a Estados Unidos, quienes le brindan amistad y apoyo. El coronel Luis Rieux, comisionado por Arismendi, visita a Luisa y se encarga de su traslado a Margarita a donde llega el 26 de julio de 1818. Posteriormente, el 19 de septiembre de 1819, el Consejo de Indias dicta una resolución mediante la cual se le concedía absoluta libertad y facultad de fijar su residencia donde quisiera. Residió en Caracas hasta el día de su muerte el 2 de junio de 1866, después de haber visto a su patria libre y la bandera de la libertad ondeando en la América antesespañola.

Honores

Panteón Nacional, donde se encuentran los restos mortales de Luisa Cáceres de Arismendi. Caracas, Venezuela

Estatua de Luisa en la Asunción

Sus restos fueron trasladados al Panteón Nacionalel 24 de agosto de 1876 convirtiéndose en ser la primera mujer cuyos restos reposan en el más alto altar de la Patria.

En la actualidad en la ciudad de Caracas un instituto técnico tiene su nombre "Instituto Técnico Luisa Cáceres de Arismendi".

En la ciudad de la Asunción capital del Estado Nueva Esparta existe la plaza Luisa Cáceres de Arismendi.

Su busto es la imagen del billete de 20 bolívares fuertes (BsF. 20) en el sistema monetario actual de Venezuela.

Existe el Hospital Pediatrico Luisa Cáceres de Arismendi, en el Complejo Hospitalario José Ignacio Baldo en Caracas.

martes, 5 de abril de 2011

TeeoOreemaa dee piitaagoOraas..!

Historia

El Teorema de Pitágoras lleva este nombre porque su descubrimiento recae sobre la escuela pitagórica. Anteriormente, enMesopotamia y el Antiguo Egipto se conocían ternas de valores que se correspondían con los lados de un triángulo rectángulo, y se utilizaban para resolver problemas referentes a los citados triángulos, tal como se indica en algunas tablillas y papiros, pero no ha perdurado ningún documento que exponga teóricamente su relación. La pirámide de Kefrén, datada en el siglo XXVI a. C., fue la primera gran pirámide que se construyó basándose en el llamado triángulo sagrado egipcio, de proporciones 3-4-5.

Teorema de Pitágoras

Teorema de Pitágoras
En todo triángulo rectángulo el cuadrado de lahipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de loscatetos.

Pitágoras de Samos

El Teorema de Pitágoras establece que en un triángulo rectángulo, el cuadrado de la longitud de la hipotenusa (el lado de mayor longitud del triángulo rectángulo) es igual a la suma de los cuadrados de las longitudes de los dos catetos (los dos lados menores del triángulo, los que conforman el ángulo recto).
Si un triángulo rectángulo tiene catetos de longitudes $a \,$ y $b \,$ , y la medida de la hipotenusa es $c \,$ , se establece que:

(1) $c^2 = b^2 + a^2 \,$

De la ecuación (1) se deducen fácilmente 3 fórmulas de aplicación práctica:

**Pitágoras ( c²=a²+b² ) – Fórmulas prácticas**
$a = +\sqrt {c^2 - b^2}$	$b= +\sqrt{c^2-a^2}$	$c = +\sqrt {a^2 + b^2}$

Designaciones convencionales

**Triángulos — Resumen de convenciones de designación**
Vértices	$A$	$B$	$C$
*Lados (como segmento)*	$BC$	$AC$	$AB$
*Lados (como longitud)*	$a$	$b$	$c$
Ángulos	$\widehat{\alpha} = \widehat{a} = \widehat{A} = \widehat{BAC}$	$\widehat{\beta} = \widehat{b} = \widehat{B} = \widehat{ABC}$	$\widehat{\gamma} = \widehat{c} = \widehat{C} = \widehat{ACB}$

[editar]Demostraciones

El Teorema de Pitágoras es de los que cuentan con un mayor número de demostraciones diferentes, utilizando métodos muy diversos. Una de las causas de esto es que en la Edad Media se exigía una nueva demostración del teorema para alcanzar el grado de Magíster matheseos.

Algunos autores proponen hasta más de mil demostraciones. Otros autores, como el matemático estadounidense E. S. Loomis, catalogó 367 pruebas diferentes en su libro de 1927 The Pythagorean Proposition.

En ese mismo libro, Loomis clasificaría las demostraciones en cuatro grandes grupos: las algebraicas, donde se relacionan los lados y segmentos del triángulo; geométricas, en las que se realizan comparaciones de áreas; dinámicas a través de las propiedades de fuerza, masa; y las cuaterniónicas, mediante el uso de vectores.

[editar]China: el Chou Pei Suan Ching, y el Chui Chang Suang Shu

Prueba visual para un triángulo dea = 3, b = 4 y c = 5 como se ve en el Chou Pei Suan Ching, 500-200 a. C.

El Chou Pei es una obra matemática de datación discutida en algunos lugares, aunque se acepta mayoritariamente que fue escrita entre el 500 y el 300 a. C. Se cree que Pitágoras no conoció esta obra. En cuanto al Chui Chang parece que es posterior, está fechado en torno al año 250 a. C.

El Chou Pei demuestra el teorema construyendo un cuadrado de lado (a+b) que se parte en cuatro triángulos de base a y altura b, y un cuadrado de lado c.

Demostración

Sea el triángulo rectángulo de catetos a y b e hipotenusa c. Se trata de demostrar que el área del cuadrado de lado c es igual a la suma de las áreas de los cuadrados de lado a y lado b. Es decir:

$a^2 + b^2 = c^2\,$

Si añadimos tres triángulos iguales al original dentro del cuadrado de lado c formando la figura mostrada en la imagen, obtenemos un cuadrado de menor tamaño. Se puede observar que el cuadrado resultante tiene efectivamente un lado de b - a. Luego, el área de este cuadrado menor puede expresarse de la siguiente manera:

$(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 \,$

Ya que $(b-a)^2 = (a-b)^2 \,$ .

Es evidente que el área del cuadrado de lado c es la suma del área de los cuatro triángulos de altura a y base b que están dentro de él más el área del cuadrado menor:

$c^2 = 4 \cdot \left( \frac{a \cdot b}{2} \right) + a^2 - 2ab + b^2= a^2 + b^2$

Con lo cual queda demostrado el teorema.

[editar]Demostraciones supuestas de Pitágoras

Se cree que Pitágoras se basó en la semejanza de los triángulos ABC, AHC y BHC. La figura coloreada hace evidente el cumplimiento del teorema.

Se estima que se demostró el teorema mediante semejanza de triángulos: sus lados homólogos son proporcionales.¹

Sea el triángulo ABC, rectángulo en C. El segmento CH es la altura relativa a la hipotenusa, en la que determina los segmentos a’ y b’, proyecciones en ella de los catetos a y b, respectivamente.

Los triángulos rectángulos ABC, AHC y BHC tienen sus tres bases iguales: todos tienen dos bases en común, y los ángulos agudos son iguales bien por ser comunes, bien por tener sus lados perpendiculares. En consecuencia dichos triángulos son semejantes.

De la semejanza entre ABC y AHC:

y dos triángulos son semejantes si hay dos o más ángulos congruentes.

$\frac {b}{b'}=\frac {c}{b}$

$b^2\ =\ b'c$

De la semejanza entre ABC y BHC:

$\frac {a}{a'}=\frac {c}{a}$

$a^2\ =\ a'c$

Los resultados obtenidos son el teorema del cateto. Sumando:

$a^2\ +\ b^2 =a'c\ +\ b'c\ =\ c\left (a'+b'\right )$

Pero $\left (a'+b'\right )=\ c$ , por lo que finalmente resulta:

$a^2\ +\ b^2 =c^2$

La relación entre las superficies de dos figuras semejantes es igual al cuadrado de su razón de semejanza. En esto pudo haberse basado Pitágoras para demostrar su teorema

Pitágoras también pudo haber demostrado el teorema basándose en la relación entre las superficies de figuras semejantes.

Los triángulos PQR y PST son semejantes, de manera que:

$\frac {r}{u}=\frac {s}{v} = r$

siendo r la razón de semejanza entre dichos triángulos. Si ahora buscamos la relación entre sus superficies:

$S_{PQR}\ =\ \frac {1}{2} \left ( rs \right )$

$S_{PST}\ =\ \frac {1}{2} \left ( uv \right )$

obtenemos después de simplificar que:

$\frac {S_{PQR}}{S_{PST}}=\frac {rs}{uv} = \frac {r}{u} \cdot \frac {s}{v}$

pero siendo $\frac {r}{u}=\frac {s}{v} = r$ la razón de semejanza, está claro que:

$\frac {S_{PQR}}{S_{PST}}= \left (\frac {r}{u} \right )^2 = \left ( \frac {s}{v} \right ) ^2$

Es decir, "la relación entre las superficies de dos figuras semejantes es igual al cuadrado de la razón de semejanza".

Aplicando ese principio a los triángulos rectángulos semejantes ACH y BCH tenemos que:

$\frac {S_{ACH}}{S_{BCH}}= \left (\frac {b}{a} \right )^2$

que de acuerdo con las propiedades de las proporciones nos da:

$\frac {S_{ACH}} {b^2} = \frac {S_{BCH}} {a^2} = \frac {S_{ACH} + S_{BCH}}{b^2+a^2 }$ (I)

y por la semejanza entre los triángulos ACH y ABC resulta que:

$\frac {S_{ACH}}{S_{ABC}}= \left (\frac {b}{c} \right )^2$

$\frac {S_{ACH}}{b^2} = \frac {S_{ABC}} {c^2}$

pero según (I) $\frac {S_{ACH}} {b^2} = \frac {S_{ACH} + S_{BCH}}{b^2+a^2 }$ , así que:

$\frac {S_{ACH} + S_{BCH}}{b^2+a^2 } = \frac {S_{ABC}} {c^2}$

y por lo tanto:

$b^2 \ +\ a^2 \ = \ c^2$

quedando demostrado el teorema de Pitágoras.

Los cuadrados compuestos en el centro y a la derecha tienen áreas equivalentes. Quitándoles los triángulos el teorema de Pitágoras queda demostrado.

Es asimismo posible que Pitágoras hubiera obtenido una demostración gráfica del teorema.

Partiendo de la configuración inicial, con el triángulo rectángulo de lados a,b, c, y los cuadrados correspondientes a catetos e hipotenusa –izquierda-, se construyen dos cuadrados diferentes:

Uno de ellos –centro- está formado por los cuadrados de los catetos, más cuatro triángulos rectángulos iguales al triángulo inicial.
El otro cuadrado –derecha- lo conforman los mismos cuatro triángulos, y el cuadrado de la hipotenusa.

Si a cada uno de estos cuadrados les quitamos los triángulos, evidentemente el área del cuadrado gris (

c 2

) equivale a la de los cuadrados amarillo y azul (

b 2 + a 2

), habiéndose demostrado el teorema de Pitágoras.

[editar]Demostración de Euclides: proposición I.47 de Los Elementos

Figura Euclides 1: La proposición I.41² de Euclides. La superficie del rectángulo ABCD es el doble de la de cualquiera de los triángulos: sus bases son la misma –DC-, y están entre las mismas paralelas. Esto es cuanto necesita Euclides para demostrar el teorema de Pitágoras.

Figura Euclides 2: La proposición I.36³ de Euclides: los paralelogramos ABCD y EFCD tienen áreas equivalentes, por tener igual base, y estar comprendidos entre las mismas paralelas.

Figura Euclides 3: La demostración de Euclides es puramente geométrica. Su columna vertebral es la sencilla proposición I.41² de Los Elementos.

El descubrimiento de los números irracionales por Pitágoras y losPitagóricos supuso un contratiempo muy serio.⁴ De pronto, las proporcionesdejaron de tener validez universal, no siempre podían aplicarse. La demostración de Pitágoras de su teorema se basaba muy probablemente en proporciones, y una proporción es un número racional. ¿Sería realmente válida como demostración? Ante esto, Euclides elabora una demostración nueva que elude la posibilidad de encontrarse con números irracionales.

El eje de su demostración es la proposición I.47⁵ de Los Elementos:

En los triángulos rectángulos el cuadrado del lado opuesto al ángulo recto es igual a la suma de los cuadrados de los lados que comprenden el ángulo recto.

Euclides (proposición I.47)

Basándose en la proposición I.41² de Los Elementos, que equivale a decir que a igual base y altura, el área del paralelogramo dobla a la del triángulo, (véase Figura Euclides 1).

Se tiene el triángulo ABC, rectángulo en C (véase Figura Euclides 3), y se construye los cuadrados correspondientes a catetos e hipotenusa. La altura CH se prolonga hasta J. Seguidamente se traza cuatro triángulos, iguales dos a dos:

Triángulos ACK y ABD: son iguales, pues siendo AD=AC, y AK=AB, necesariamente BD=CK. Sus tres lados son iguales.
Triángulos ABG y CBI: análogamente, AB=BI, y BG=BC, así que AG=CI. Sus tres lados son asimismo iguales.

Abundando en las anteriores consideraciones, nótese que un giro con centro en A, y sentido positivo, transforma ACK en ABD. Y un giro con centro en B, y sentido también positivo, transforma ABG en CBI. En la demostración de Leonardo da Vinci se encontrará nuevamente con giros que demuestran la igualdad de figuras.

Véase (en la Figura Euclides 3) que:

Las paralelas r y s comprenden al triángulo ACK y el rectánguloAHJK, los cuales tienen la misma base, AK. Por tanto de acuerdo con la proposición I.41² de Los Elementos, AHJK tiene doble área que ACK, (véase Figura Euclides 1).
Las paralelas m y n contienen a ABD y ADEC, cuya base común es AD. Así que el área de ADEC es doble de la de ABD.

Pero siendo ACK=ABD, resulta que el rectángulo AHJK y el cuadrado ADEC tienen áreas equivalentes. Haciendosé razonamientos similares con los triángulos ABG y CBI, respecto al cuadrado BCFG y al rectángulo HBIJ respectivamente, se concluye que éstos últimos tienen asimismo áreas iguales. A partir de lo anterior, surge de inmediato que: "la suma de las áreas de los cuadrados construidos sobre los catetos, es igual al área del cuadrado construido sobre la hipotenusa".

[editar]Demostración de Pappus

La proposición I.36³ de Euclides: los paralelogramos ABCD y EFCD tienen áreas equivalentes, por tener igual base, y estar comprendidos entre las mismas paralelas.

La demostración de Pappus parece ser unas musicales variaciones sobre un mismo tema, respecto a la de Euclides.

Unos 625 años después que Euclides, Pappus⁶ parece seguir su senda, y desarrolla una demostración del teorema de Pitágoras basada en la proposicón I.36³ de Los Elementos de Euclides:

Dos paralelogramos de igual base, y entre las mismas paralelas, tienen superficies equivalentes.

Partimos del triángulo ABC rectángulo en C, sobre cuyos catetos e hipotenusa hemos construido los cuadrados correspondientes.

Prolongando CH hacia arriba se obtiene el rectángulo CEGI cuya diagonal CG determina en aquél dos triángulos rectángulos iguales al triángulo ABC dado:

Los ángulos agudos GCI y ABC tienen sus lados perpendiculares
El lado CI es igual al lado CB

En consecuencia los triángulos rectángulos ABC, ICG y EGC tienen sus tres lados iguales.

Los paralelogramos ACGF y AHMN tienen la misma base CG=HM, y están comprendidos entre las mismas paralelas, r y s. Por lo tanto tienen la misma superficie (Elementos I.36)
Aplicando el mismo principio a ACGF y ACED –base común AC, y paralelas m y n- resulta que ambos paralelogramos tienen superficies asimismo equivalentes.

De 1) y 2) se sigue que las superficies de ACED y AHMN son iguales.

Análogamente:

CGJB y BLMH tienen la misma base CG=MH, y están comprendidos entre las paralelas s y t. Sus superficies son equivalentes.
CGJB y CIKB tienen base común CB, y están entre las paralelas o yp. Sus superficies son iguales.

De dónde se deduce la equivalencia de las superficies de BLMH y de CIKB.

El teorema de Pitágoras queda demostrado.

[editar]Demostración de Bhaskara

Bhaskara desarrolla una demostración gráfica y algebraica del teorema de Pitágoras.

Bhaskara II, el matemático y astrónomo hindú del siglo XII, nos da la siguiente demostración del teorema de Pitágoras.

Con cuatro triángulos rectángulos de lados a, b y c se construye el cuadrado de lado c –izquierda-, en cuyo centro se forma otro cuadrado de lado (a-b).

Redistribuyendo los cuatro triángulos y el cuadrado de lado (a-b), construimos la figura de la derecha, cuya superficie resulta ser la suma de la de dos cuadrados: uno de lado a –azul- y otro de lado b -naranja-.

Se ha demostrado gráficamente que

c 2 = a 2 + b 2

Algebraicamente: el área del cuadrado de lado c es la correspondiente a los cuatro triángulos, más el área del cuadrado central de lado (a-b), es decir:

$c^2=4 \cdot \frac {ab}{2}+ (a-b)^2$

expresión que desarrollada y simplificada nos da el resultado

c 2 = a 2 + b 2

, y el teorema queda demostrado.

[editar]Demostración de Leonardo da Vinci

El diseño inicial, con el triángulo y los cuadrados de catetos e hipotenusa, es modificado por Leonardo da Vinci al añadir dos triángulos iguales al ABC: el ECF y el HIJ.

En el elenco de inteligencias que abordaron el teorema de Pitágoras no falta el genio del Renacimiento, Leonardo da Vinci.

Partiendo del triángulo rectángulo ABC con los cuadrados de catetos e hipotenusa, Leonardo añade los triángulos ECF y HIJ, iguales al dado, resultando dos polígonos, cuyas superficies va a demostrar que son equivalentes:

Polígono ADEFGB: la línea DG lo divide en dos mitades idénticas, ADGB y DEFG.
Polígono ACBHIJ: la línea CI determina CBHI y CIJA.

Comparemos los polígonos destacados en gris, ADGB y CIJA:

De inmediato vemos que tienen tres lados iguales: AD=AC, AB=AJ, BG=BC=IJ
Asimismo es inmediata la igualdad entre los ángulos de los siguientes vértices:
- A de ADGB y A de CIJA
- B de ADGB y J de CIJA

Se concluye que ADGB y CIJA son iguales.

De modo análogo se comprueba la igualdad entre ADGB y CBHI.

Además, de un modo semejante a lo explicado en la demostración de Euclides, nótese que un giro de centro A, y sentido positivo, transforma CIJA en ADGB. Mientras que un giro de centro B, y sentido negativo, transforma CBHI en ADGB.

Todo ello nos lleva a que los polígonos ADEFGB y ACBHIJ tienen áreas equivalentes. Pues bien, si a cada uno le quitamos sus dos triángulos –iguales- las superficies que restan forzosamente serán iguales. Y esas superficies no son sino los dos cuadrados de los catetos en el polígono ADEFGB, por una parte, y el cuadrado de la hipotenusa en el polígono ACBHIJ, por la otra. El teorema de Pitágoras queda demostrado.

[editar]Demostración de Garfield

El polígono construido por Garfield es un trapecio de bases a y b, compuesto por tres triángulos rectángulos.

James Abram Garfield (1831-1881), el vigésimo Presidente de los Estados Unidos,⁷ desarrolló una demostración del teorema de Pitágoras publicada en el New England Journal of Education.

Garfield construye un trapecio de bases a y b, y altura (a+b), a partir del triángulo rectángulo de lados a, b y c. Dicho trapecio resulta compuesto por tres triángulos rectángulos: dos iguales al dado, y un tercero, isósceles de catetos c. En consecuencia:

(g.1) $S_{trapecio}=\frac {a+b}{2} \cdot (a+b)$

como corresponde a la superficie del trapecio, pero asimismo tenemos una figura compuesta por tres triángulos, dos de ellos iguales, de modo que:

(g.2) $S=2 \cdot \frac {ab}{2} + \frac {c^2}{2}$

igualando la ecuación (g.2) con la (g.1) obtenemos:

$(ab) + \frac {c^2}{2} = \frac {1}{2} (a+b) \cdot (a+b)$

pasando el ½ al otro miembro y simplificando ...

2 a b + c 2 = (a + b) 2

expandiendo el miembro derecho ...

2 a b + c 2 = a 2 + 2 a b + b 2

restando (2 a b) a ambos miembros, finalmente nos da:

$c 2 = a 2 + b 2$

y el teorema está demostrado.